Question

Плохо разбираюсь с этой темой.Прошу помочь с решением!
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
y=2x-x^2; x+y=0

Answer 1

Решение:

Сперва рисуем два графика и находим фигуру, которая появляется при их пересечении. Как мы это сделали - смотри на фото.

Число 0 будет нижним пределом интегрирования (ибо самая "левая" точка пересечения графиков (0; 0) (смотрим по х) ), а 3 - верхним (ибо самая "самая" правая точка пересечения - (3;-3), опять же, смотрим по х).

Дальше приравняем две функции:

$-x^2 + 2x = -x\\-x^2 + 3x = 0$

Теперь площадь фигуры можно найти через определённый интеграл:

$\int\limits^3_0 {(-x^2+3x)} \, dx$

Найдём для начала неопределённый интеграл:

$\int\limits {(-x^2+3x)} \, dx = \int\limits {(-x^2)} \, dx + \int\limits {(3x)} \, dx = -\frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{3x^{1+1}}{1+1} = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$(-\frac{3^3}{3} + \frac{3*3^2}{2}) - (-\frac{0^3}{3} + \frac{3*0^2}{2}) = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} = -\frac{54}{6} + \frac{27}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$

S = 4.5