Question

найти интеграл с подробным решением
x/(x^2-5) dx

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{2}(ln |x^{2}-5|+C)$

Пошаговое объяснение:

$\int\ {\frac{x}{x^{2}-5}} \, dx ;$

Найдём производную знаменателя дроби:

$d(x^{2}-5)=((x^{2})'-5')dx=(2x-0)dx=2xdx;$

В числителе дроби находится множитель

$xdx.$

Умножим числитель дроби на 2, но, для того, что значение интеграла не поменялось, вынесем за знак интеграла дробь 1/2:

$\frac{1}{2} \int\ {\frac{2xdx}{x^{2}-5}} \ ;$

Заменим значение числителя на дифференциал знаменателя:

$\frac{1}{2} \int\ {\frac{d(x^{2}-5)}{x^{2}-5}} \ ;$

Полученный интеграл является табличным, так как при замене

$t=x^{2}-5$

мы получаем интеграл

$\frac{1}{2} \int\ {\frac{dt}{t}} \ ,$

значение которого

$\frac{1}{2} \int\ {\frac{dt}{t}} \ =\frac{1}{2}(ln |t|+C).$

Возвращаясь к замене, получаем:

$\frac{1}{2}(ln |x^{2}-5|+C).$