Question

ПОЖАЛУЙСТА ОЧЕНЬ СРОЧНОО

Answer 1

1)

$2\log_{5}(x+1) - \log_{5}(x+9) = \log_{5}(3x-17)$

Найдём область допустимых значений:

$\begin{equation*}\begin{cases}x + 1 > 0\\x + 9 > 0\\3x - 17 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > -1\\x> -9\\\\x > \dfrac{17}{3}\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ x\in\left(\dfrac{17}{3}\ ;\ +\infty\right)$

Вернёмся к уравнению:

$\log_{5}\left((x+1)^2\right) - \log_{5}(x+9) = \log_{5}(3x-17)\\\\\\\log_{5}\left(\dfrac{(x+1)^2}{x+9}\right) = \log_{5}(3x-17)\\\\\\\dfrac{(x+1)^2}{x+9} = 3x - 17\\\\\\\dfrac{(x+1)^2 - (3x-17)(x+9)}{x+9} = 0\\\\\\\dfrac{x^2 + 2x + 1 - (3x^2 + 27x - 17x - 153)}{x+9} = 0\\\\\\\dfrac{x^2 + 2x + 1 - (3x^2 + 10x - 153)}{x+9} = 0\\\\\\\dfrac{x^2 + 2x + 1 - 3x^2 - 10x + 153}{x+9} = 0\\\\\\\dfrac{-2x^2-8x+154}{x+9} = 0$

$2x^2 + 8x - 154 = 0\\\\x^2 + 4x - 77 = 0\\\\\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = -77\\x_{1} + x_{2} = -4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -11\ ;\ x = 7\ \ \Rightarrow \boxed{\textbf{x = 7}}$

-11 не входит в область допустимых значений.

Ответ: 7.

2)

$\lg\sqrt{5x-4} + \lg\sqrt{x+1} = 2 + \lg0,18$

Найдём область допустимых значений:

$\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{5x-4} > 0\\5x-4\geq 0\\\sqrt{x+1} > 0\\x+1\geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x >0,8\\x \geq 0,8\\x > -1\\x\geq -1\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{x > 0,8}$

Вернёмся к уравнению:

$\lg\left((5x-4)^{\frac{1}{2}}\right) + \lg\left((x+1)^{\frac{1}{2}}\right) = 2 + \lg0,18\\\\\\\dfrac{1}{2}\lg(5x-4) + \dfrac{1}{2}\lg(x+1) = 2 + \lg0,18\ \ \ \ \ \Big| \cdot 2\\\\\\\lg(5x-4) + \lg(x+1) = 4 + 2\lg0,18\\\\\lg ((5x-4)(x+1)) = 4 + 2\lg\dfrac{18}{100}\\\\\\\lg(5x^2 + 5x - 4x - 4) = 4 + 2(\lg18 - \lg100)\\\\\lg(5x^2+x-4) = 4 + 2(\lg18 - 2)\\\\\lg(5x^2+x-4) = 4 + 2\lg18 - 4\\\\\lg(5x^2+x-4) = \lg18^2\\\\\lg(5x^2 + x - 4) = \lg324$

$5x^2 + x - 4 = 324\\\\5x^2 + x - 328 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot 5\cdot (-328) = 1 + 6560 = 6561\\\\x_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1+81}{2\cdot 5} = \dfrac{80}{10} = 8\\\\\\x_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 - 81}{2\cdot 5} = \dfrac{-82}{10} = -8,2\\\\\\\boxed{\textbf{x = 8}}$

-8,2 не входит в область допустимых значений.

Ответ: 8.