Question

Помогите пожалуйста очень срочно нужно

Answer 1

$\sqrt{2x^2+x} < 1+2x$

Составим систему неравенств, учитывая также все ограничения, накладываемые на аргумент:

$\begin{equation*}\begin{cases}2x^2 + x \geq 0\\1 + 2x \geq 0\\\sqrt{2x^2+x}<1+2x\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x(2x+1)\geq 0\\2x\geq -1\\2x^2+x < 1 + 4x + 4x^2\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x(2x+1)\geq 0\\x \geq -0,5\\2x^2 + 3x + 1 > 0\end{cases}\end{equation*}$

Решим отдельно верхнее и нижнее неравенства системы.

$x(2x+1) \geq 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули: 0; -0,5

          +                           -                             +

----------------------$\bullet$-------------------------

                     $-0,5$                          $0$

Таким образом, решением данного неравенства являются: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [0; +\infty)$ .

$2x^2+3x+1 > 0$

Чтобы найти нули, приравняем левую часть к 0.

$2x^2 + 3x + 1 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot 2\cdot 1 = 9 - 8 = 1\\\\x_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3+1}{2\cdot 2} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}\\\\\\x_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3-1}{2\cdot 2} = \dfrac{-4}{4} = -1$

$2\left (x+\dfrac{1}{2}\right )(x + 1) >0\\\\\\\left (x+\dfrac{1}{2}\right )(x+1) > 0$

Снова воспользуемся методом интервалов.

Нули:  $-\dfrac{1}{2}\ ;\ -1$ .

          +                      -                           +

-------------------о---------------------о-----------------------> x

                    $-1$                      $-\dfrac{1}{2}$

Решением данного неравенства является: $x \in (-\infty; -1) \cup \left (-\dfrac{1}{2}; +\infty\right )$ . Вернёмся к исходной системе, подставим полученные решения и найдём конечный ответ.

$\begin{equation*}\begin{cases}x \in (-\infty; -0,5] \cup [0; +\infty)\\x \in [-0,5; +\infty)\\x \in (-\infty; -1) \cup \left(-\dfrac{1}{2}; + \infty\right )\end{cases}\end{equation*}$

Решением системы неравенств является промежуток, на котором присутствует множество каждого неравенства. Для данного таковым является $\boxed{x \in [0; +\infty)}$ .

Ответ:  $x \in [0; +\infty)$ .