Помогите пожалуйста срочно нужно Даны точки: (2; 3, -1); В (0; 1 2); С (4; -1; -1); D (2; -3; 1).
Задания:
1. Запишите координаты векторов AB, CD.
2. Запишите разложение вектора АС по координатам i, j, k.
3. Найдите координаты точки К - середины отрезка ВС.
4. Вычислите длину BD и расстояние между точками А и D.
5. Найдите косинусы углов между векторами АВ и ВС, ВС и CD.
Ответы
Ответ:
В объяснении.
Объяснение:
Все решается по формулам:
1. Координаты векторов - по координатам начала и конца:
Вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za} = {0-2;1-3;2-(-1)} = {-2;-2;3}.
Вектор CD{Xd-Xc;Yd-Yc;Zd-Zc} = {2-4;-3-(-1);1-(-1)} = {-2;-2;2}.
2. Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:
вектор АС{x;y;z} = АСх·i + ACy·j + ACz·k.
В нашем случае координаты вектора АC{4-2;-1-3;-1-(-1)} = AC{2;-4;0}.
Тогда разложение вектора будет иметь вид:
AC = 2·i - 4·j + 0·k = 2i-4j.
3. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат начала и конца.
К((0+4)/2;(1+(-1))/2;(2+(-1))/2) => K(2;0;0,5).
4. Длина вектора (его модуль) равен расстоянию между его концами и находится по формуле:
|BD| = √(Xd-Xb)²+(Yd-Yb)²+(Zd-Zb)²) = √(2-0)²+(-3-1)²+(1-2)²) = √(4+16+1) = √21 ед.
|AD| = √(Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²+(Zd-Za)²) = √(2-2)²+(-3-3)²+(1-(-1))²) = √(0+36+4) = 2√10 ед.
5. Kосинусы углов между векторами находятся по формуле:
Cos(AB^BC) = (Xab·Xbc+Yab·Ybc+Zab·Zbc)/[√(Xab²+Yab²+Zab²)·√(Xbc²+Ybc²+Zbc²)]
Координаты вектора BC по формуле, приведенной выше: ВС{4;-2;-3}
Cos(AB^BC) = (-2·4+(-2·-2)+3·(-3))/(√17*√29) = -1/√493 ≈ -0,045.
Аналогично:
Cos(BC^CD) = (4·(-2)+(-2·-2)+(-3)·2)/(√29*√12) =
-10/(2√57) = -5/√57 ≈ -0,662.