Реши следующие уравнения в натуральных числах n и k:
а) 1!+...+n!=(1!+...+k!)2;
б) 1!+...+n!=(1!+...+k!)4, где n!=1⋅2⋅...⋅n.
Ответы
Ответ: n=k=1
Объяснение:
a) Простым перебором убеждаемся, что пары n=k=1 и n=3, k=2 являются решением уравнения. Теперь при n≥4 число 1!+...+n! в десятичной записи оканчивается на 3.
Действительно,
1!+2!+3!+4!=33, n=4,
1!+2!+3!+4!+...+n!=33+10k, n≥5,
поскольку n! делится на 10 при n≥5. Но квадрат натурального числа не может в десятичной записи оканчиваться на 3, следовательно, других решений данное уравнение не имеет.
б) Видим, что уравнение имеет решение n=k=1. Далее, при 2≤n≤6 и n=8 число
1!+2!+3!+4!+...+n!
делится на 3, но не делится на 27. Значит, при таких n уравнение не имеет решений. Теперь при n≥9 получаем, что число
1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+...+n!
делится на 3, но не делится на 27, поскольку n! делится на 27 при n≥9. Следовательно, уравнение не имеет решений при n≥9. Наконец, при n=7 видим, что
1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!=5913,
но это число не является m-й степенью никакого числа.
Получаем, что единственным решением этого уравнения будет n=k=1.