Question

Найти решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом


1) 4у'+3'-7у=0

2) 2у"+5у"=0

З) у"-6у+1Зу=о

Answer 1

везде одна замена:

$y = {e}^{kx}$

1)

$4 {k}^{2} + 3k - 7 = 0 \\ d = 9 + 112 = 121 \\ k1 = \frac{ - 3 + 11}{8} = 1 \\ k2 = - \frac{14}{8} = - \frac{7}{4} \\ y = C1 {e}^{x} + C2 {e}^{ - \frac{7}{4}x }$

2)

$2 {k}^{2} + 5k = 0 \\ k(2k + 5) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = - 2.5 \\ y = C1 {e}^{ - 2.5x} + C2$

3)

${k}^{2} - 6k + 13 = 0 \\ d = 36 - 52 = - 16 \\ k1 = \frac{6 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i \\ k2 = 3 - 2i$

$y = {e}^{3x} (C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x) )$