Предмет: Математика, автор: nicezapivalov

Найти частные решения дифференциальных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами.

1) y''-3y'+2y=0 если если y=2, y'=3 при x=0

2) y''-10y'+25y=0 если y=2, y'=8 при x=0

3) y''-4y'+5y=0 если y=1, y'=-1 при x=0

Ответы

Автор ответа: Miroslava227
2

Ответ:

везде одна замена:

y =  {e}^{kx}

1)

 {k}^{2}  - 3k + 2 = 0 \\ d = 9 - 8 = 1 \\ k1 = 2 \\ k2 = 1 \\ y = C1 {e}^{2x} +  C2 {e}^{x}

общее решение

y(0) = 2,y'(0) = 3

y' = 2C1 {e}^{2x}  + C2 {e}^{x}

2 = C1 + C2 \\ 3 = 2C1 + C2 \\  \\ C2 = 2 - C1 \\ 2C1 + 2 - C1 = 3 \\  \\ C1 = 1 \\ C2 = 2 - 1 = 1

y =  {e}^{2x}  +  {e}^{x}

частное решение

2)

 {k}^{2}  - 10k + 25 = 0 \\  {(k - 5)}^{2}  = 0 \\ k1 = k2 = 5 \\ y = C1 {e}^{5x}  + C2 {e}^{5x} x

общее решение

y(0) = 2,y'(0) = 8

y' = 5c1 {e}^{5x}  + 5c2 {e}^{5x} x + c2 {e}^{5x}

2 = C1 + 0 \\ 8 = 5C1 + C2 \\  \\ C1 = 2 \\ C2 = 8 - 5C1 =  - 2

y = 2 {e}^{5x}  - 2 {e}^{5x} x  \\ y =  {e}^{5x} (2 - 2x)

частное решение

3)

 {k}^{2} - 4 k + 5 = 0 \\ d = 16 - 20 =  - 4 \\ k1 =  \frac{4 +  \sqrt{ - 4} }{2}  =  \frac{4 + 2i}{2}  = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ y =  {e}^{2x} (C1 \sin(x)  + C2 \cos(x) )

общее решение

y(0) = 1,y'(0) =  - 1

y' = 2 {e}^{2x} (C1 \sin(x) +  C2\cos(x))  +  {e}^{2x} (C1 \cos(x)  - C2  \sin(x) )

1 = C2 \\  - 1 = 2C2 + C1 \\  \\ C1 =  - 1 - 2C2 =  - 3

y =  {e}^{2x} ( - 3 \sin(x)  +  \cos(x))

частное решение

Похожие вопросы