Question

Нужно решить 1 дифференциальное уравнение (записать общим видом). Совсем запутался с выбором способа. Кто сможет решить, буду благодарен.

$ydx-(x-y^3)dy = 0$

Answer 1

Ответ:

$y\, dx-(x-y^3)\, dy=0\\\\y\cdot \dfrac{dx}{dy}-x+y^3=0\\\\\dfrac{dx}{dy}=x'\ \ ,\ \ \ y\cdot x'-x=-y^3\ \ ,\ \ x'-\dfrac{1}{y}\cdot x=-y^2$

Линейное диффер. уравнение 1 порядка относительно "х" .

$x=uv\ ,\ \ x'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\dfrac{1}{y}\cdot uv=-y^2\\\\u'v+u\cdot (v'-\dfrac{v}{y})=-y^2\\\\a)\ \ v'-\dfrac{v}{y}=0\ ,\ \ \dfrac{dv}{dy}=\dfrac{v}{y}\ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=\int \dfrac{dy}{y}\ ,\ \ ln|v|=ln|y|\ ,\ \ \underline {v=y}\\\\b)\ \ u'v=-y^2\ ,\ \ \dfrac{du}{dy}\cdot y=-y^2\ ,\ \ \int du=-\int y\, dy\ ,\ \ \underline{u=-\dfrac{y^2}{2}+C}\\\\c)\ \ x=uv\ ,\ \ \underline {x=y\cdot \Big(-\dfrac{y^2}{2}+C\Big)}\ \ ,\ \ \underline{\dfrac{1}{2}\, y^3-Cy+x=0}$