Question

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, Р - середина

стороны ВС, ВР = 6 см, РО = 5 см. Найдите периметр параллелограмма АВСD.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{P_{ABCD} = 44}$ см

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, AC ∩ BD = O, BP = PC, ВР = 6 см, РО = 5 см

Найти: $P_{ABCD}$ - ?

Решение: Так как по условию ABCD - параллелограмм, то по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда AD = BC, AB = CD. Так как BP = PC и BP + PC = BC, то BC = 2BP = 2 * 6 = 12 см, тогда так как AD = BC, то AD = 12 см. Пусть точка E - середина отрезка AD, тогда AE = ED. Так как AD = BC и точки E и P - середины соответствующих сторон, то BP = AE = ED = PC.Так как по условию ABCD - параллелограмм, то по определению его противоположные стороны параллельны, тогда BC ║ AD. По теореме-признаку четырехугольник BPEA - параллелограмм, так как BC ║ AD и BP = AE. Треугольник ΔAOD = ΔBOC по первому признаку равенства треугольников, так как AO = OC, BO = OD так как по свойствам параллелограмма (ABCD) его диагонали точкой пересечения делятся пополам и угол ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы. Так как треугольник ΔAOD = ΔBOC, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда PO = OE = 5 см как медианы треугольников проведенные к одной и той же стороне (BC = AD). По основному свойству отрезка PE = PO + OE = 5 + 5 = 10 см. Так как по условию BPEA - параллелограмм, то по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда PE = AB = 10 см. По определению периметра параллелограмма (ABCD):

$P_{ABCD} = AB + CD + AD + BC = 10 + 10 + 12 + 12 = 20 + 24 = 44$ см.