Question

Из колоды в 52 карты выбираются 4 карты. Для случайной величины X — количества
карт червонной масти среди отобранных — найти закон распределения, математическое
ожидание и дисперсию

Answer 1

52 карты , из них 13 карт червоной масти

Х - случайная величина - количество карт червоной масти среди отобранных 4-х карт

$P(k=0)=\dfrac{C_{13}^0\cdot C_{39}^4}{C_{52}^4}=\dfrac{1\, \cdot \dfrac{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{4!}}{\dfrac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49}{4!}}=\dfrac{1974024}{6497400}\approx 0,3038$

$P(k=1)=\dfrac{C_{13}^1\cdot C_{39}^3}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 39\cdot 38\cdot 37}{270725\cdot 3!}\approx 0,4388\\\\\\P(k=2)=\dfrac{C_{13}^2\cdot C_{39}^2}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 12\, \cdot \, 39\cdot 38}{270725\cdot 2!\cdot 2!}\approx 0,2135\\\\\\P(k=3)=\dfrac{C_{13}^3\cdot C_{39}^1}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 12\cdot 11\, \cdot \, 39}{270725\cdot 3!}\approx 0,0412$

$P(k=4)=\dfrac{C_{13}^4\cdot C_{39}^0}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\, \cdot \, 1}{270725\cdot 4!}\approx 0,0026$

$0,3038+0,4388+0,2135+0,0412=0,9973\approx 1\\\\\\X\ |\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ |\ \ \ \ \ 2\ \ \ \ |\ \ \ \ \ 3\ \ \ \ |\ \ \ \ \ 4\ \ \ \ |\\-----------------\\P\ |\ 0,3038\ |\ 0,4388\ |0,2135\ |\ 0,0412\ |$

$M(X)=1\cdot 0,3038+2\cdot 0,4388+3\cdot 0,2135+4\cdot 0,0412=1,9864\\\\D(X)=M(X^2)-M^2(X)=1^2\cdot 0,3038+2^2\cdot 0,4388+3^2\cdot 0,2135+4^2\cdot 0,0412-\\\\-(1,9864)^2=4,6397-3,9457=0,6940$