Question

Нaйдитe знaчeниe $x$ из интервала $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ с которым уравнение будет верным $f'(x)=sin(x)$ когда $f(x)=2cos(x)$

Answer 1

$f(x) = 2\cos x$ , тогда $f'(x) = 2\cdot (-\sin x) = -2\sin x$ . Получаем уравнение:

$-2\sin x = \sin x\\\\-2\sin x - \sin x = 0\\\\-3\sin x = 0\\\\\sin x = 0\\\\x = \pi k\ ,\ k\in\mathbb{Z}$

Из интервала $\left (-\pi\ ;\ \dfrac{3\pi}{2}\right )$  :

$-\pi < \pi k < \dfrac{3\pi}{2}\ \ \ \ \ \Big| :\pi\\\\\\-1 < k < \dfrac{3}{2}$

Так как $k\in\mathbb{Z}$, то  $k = \left \{0\ ;\ 1\right \}$ . Подставляем в корень уравнения:

$\pi \cdot 0 = \boxed{0}\\\\\pi \cdot 1 = \boxed{\pi}$  .

Таким образом, из заданного интервала есть два таких значения: 0 и π.