Question

помогите пожалуйста с объяснениями

Answer 1

$\dfrac{-67}{(x-5)^2 - 9} \geq 0\\\\\\\\-\dfrac{67}{(x-5)^2 - 9} \geq 0\ \ \ \ \ \Big| : (-67)\\\\\\\dfrac{1}{(x-5)^2-9}\leq 0\\\\\\\dfrac{1}{x^2 -10x + 25 - 9} \leq 0\\\\\\\dfrac{1}{x^2-10x+16} \leq 0$

Так как в числителе дроби нет переменных, то её значение будет зависеть только от знаменателя: $x^2-10x+16 \leq 0$ , НО, так как данное выражение стоит в знаменателе, а он не должен быть равен нулю, то неравенство становится строгим: $\boxed{x^2 - 10x + 16 < 0}$ . Нам осталось только решить его. Для начала разложим выражение на множители. Чтобы это сделать, решим уравнение:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = 16\\x_{1} + x_{2} = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 8\ ;\ x = 2$

Возвращаемся к неравенству:

$x^2 - 10x + 16 < 0\\\\(x - 2)(x-8) < 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули:  $2;\ 8$.

           +                         -                         +

----------------------о---------------------о------------------> x

                          $2$                         $8$

Нам нужны те промежутки, где выражение принимает отрицательные значения, то есть те, где стоит знак "-". Такой промежуток один, и именно он является решением нашего неравенства: $\boxed{(2; 8)}$ .

Ответ:  $x \in (2; 8)$ .