Question

Свойства функции 2tg0,5x
помогите пожалуйста!

Answer 1

1) Эта функция нечетная

$f(x)=2tan(0,5x)$

$f(-x)=2tan(-0,5x)=-2tan(0,5x)=-f(x)$

$f(-x)=-f(x)$

2) Периодическая, с периодом, равным $2pi$.

$f(x)=2tan(0,5(x+2pi))=2tan(0,5x+pi)=2frac{tan0,5x+tanpi}{1-tan0,5x*tanpi}=$

$=2frac{tan0,5x}{1-0*tan0,5x}=2frac{tan0,5x}{1}=2tan{0,5x}$

3) асимтотами функции будут прямые $x=pi+2kpi,quad kin Z$  

4) Эта функция возрастает на каждом из промежутков $(-pi+2kpi;,pi+2kpi),quad kin Z$. Так как ее производная всегда положительна $f'(x)=frac{1}{cos^20,5 x}*frac{1}{2}$, кроме точек, в которых проходят асимптоты. Там производная не существует.

5) Экстремумов функция не имеет.

6) Зато есть точки перегиба. Возьмем вторую производную. $f''(x)=frac{1}{2}frac{-2}{cos^3(0,5x)}*(-sin(0,5x))*frac{1}{2}=frac{1}{2}frac{sin(0,5x)}{cos^3(0,5x)}$

Если приравнять ее к нулю, то получим, что числитель должен быть равен нулю.

sin(0,5x)=0

$0,5x=pi*k,quad kin Z$

$x=2pi k,quad kin Z$  - это точки перегиба, совпадающие с нулями самой функции 


7) Промежутки знакопостоянства функции

 $xin(2pi*k;,pi+2pi k)$ - функция положительна

$(-pi+2pi k;,2pi k)$ - функция отрицательна