Question

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии b2=-1 b5=27/125

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{25}{24}$

Пошаговое объяснение:

Формула суммы  бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q;}\quad q\neq 1$

Ищем q

$\displaystyle\\b_2=b_1*q=-1; \quad b_1 = \frac{-1}{q} ;\\\\\\b_5=b_1*q^4=\frac{27}{125} ;\quad b_1=\frac{27}{125} :q^4=\frac{27}{125q^4}$

теперь приравняем

$\displaystyle b_1=b_1\\\\\frac{-1}{q} =\frac{27}{125q^4} ;\quad \Rightarrow \quad q^3 =-\frac{27}{125} ;\quad \boldsymbol {q=-\frac{3}{5} }$

Тогда

$\displaystyle \boldsymbol {b_1}=\frac{b_2}{q} =-1:\bigg (-\frac{3}{5} \bigg)=\boldsymbol {\frac{5}{3} }$

И теперь сумма

$\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{5}{3} :\bigg(1-\bigg(-\frac{3}{5} \bigg)\bigg)=\frac{5}{3} :\frac{8}{5} =\boldsymbol {\frac{25}{24} }$

ответ

сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии   $\displaystyle S=\frac{25}{24}$

Answer 2

Ответ:

$1\dfrac{1}{24}$

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся формулой n -го члена геометрической прогрессии

$b{_n}= b{_1} \cdot q^{n-1}$

и найдем второй и пятый члены данной геометрической прогрессии

$b{_2}= b{_1} \cdot q;\\b{_5}= b{_1} \cdot q^{4} .$

Составим и решим систему уравнений

$\left \{\begin{array}{l} b{_1}\cdot q=-1,\\ \\b{_1}\cdot q^{4} =\dfrac{27}{125} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b{_1}\cdot q=-1,\\ \\ q^{3} =-\dfrac{27}{125} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b{_1}\cdot\left(- \dfrac{3}{5}\right) =-1,\\ \\ q =-\dfrac{3}{5} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b{_1}=\dfrac{5}{3} ,\\ \\ q =-\dfrac{3}{5} .\end{array} \right.$

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле:

$S= \dfrac{b{_1}}{1-q} ;\\\\S= \dfrac{\dfrac{5}{3} }{1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{5}{3} }{1 +\dfrac{3}{5}} =\dfrac{5}{3} :\dfrac{8}{5} =\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{5}{8} =\dfrac{25}{24} =1\dfrac{1}{24}$