Question

ВАРИАНТ 3
1. Сфера задана уравнением:
х2+ (у — 5)2 + (z + 1)2 = 25
а) выпишите координаты центра сферы и найдите ее радиус,
б) проверьте, принадлежит ли этой сфере точка А (-1; 2; 4).
2. Составьте уравнение сферы, если E (1; 0;-2) – центр сферы, а радиус равен корень из 6.
3. Напишите уравнение сферы с центром в точке 0 (0; -4; 9), и проходящей через точку м (6; 1; 0).
4. Приведите данное уравнение к стандартному виду уравнения сферы и найдите координаты ее
центра и величину радиуса х2 +y2 +z2 + 2y — 4z = 4.​

Answer 1

Объяснение:

Общее уравнение сферы

$(x- x{_0})^{2} +(y-y{_0})^{2} +(z-z{_0})^{2} = R^{2} ,$

где  $(x{_0}; y{_0}; z{_0})-$   центр сферы, а R - радиус окружности

1.

$x^{2} +(y-5) ^{2} +(z+1) ^{2} =25.$

a) $(0; 5; -1) -$ центр сферы ,  R=5 - радиус.

б) Для того чтобы проверить принадлежит ли точка сфере, надо подставить координаты точки в уравнение сферы, если получим верное числовое равенство, то точка принадлежит сфере.

A(- 1; 2; 4)

$(-1)^{2} +(2-5) ^{2} +(4+1) ^{2} \neq 25;\\1+(-3) ^{2} +5 ^{2} \neq 25\\1+9+25\neq 25;\\35\neq 25$

Так как равенство неверно, то точка А не принадлежит сфере.

2.

Е( 1; 0;-2) -центр сферы , $R=\sqrt{6}$

Тогда уравнение сферы принимает вид:

$(x- 1)^{2} +(y-0)^{2} +(z-(-2)})^{2} =(\sqrt{6} )^{2} ;\\(x- 1)^{2} +y^{2} +(z+2})^{2} =6$

3. Если точка О( 0; -4; 9 ) - центр сферы, то уравнение сферы принимает вид:

$(x- 0})^{2} +(y-(-4))^{2} +(z-9)^{2} = R^{2} ;\\x^{2} +(y+4)^{2} +(z-9) ^{2} =R^{2}$

Если сфера проходит через точку М (6; 1;0) , то подставим координаты данной точки в уравнение сферы.

$6^{2} +(1+4)^{2} +(0-9) ^{2} =R^{2};\\36+25+81=R^{2} ;\\R^{2} =142 .$

Тогда уравнение сферы принимает вид.

$x^{2} +(y+4)^{2} +(z-9) ^{2} =142.$

4. Выделим полный квадрат, применяя формулы сокращенного умножения

$(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2} ;\\(a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2} .$

$x^{2} +y^{2} +z^{2} +2y-4z=4;\\x^{2} +y^{2} +2\cdot 1\cdot y +1+z^{2} -2\cdot2\cdot z+4=4+1+4;\\x^{2} +(y+1) ^{2} +(z-2) ^{2} =9$

Тогда точка ( 0; -1; 2) - центр сферы, а радиус равен 3.