Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12. Найди первый член прогрессии, если отношение первого члена к сумме второго и третьего членов равна 0,9.

Answer 1

Ответ:

b₁ = 4

Объяснение:

Нужно знать:

1) Если в геометрической прогрессии знаменатель |q| < 1, то называется бесконечно убывающей.

2) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии {bn}вычисляется по формуле: $\tt S =\dfrac{b_1}{1-q} , \;\; |q|<1.$

3) Общий член геометрической прогрессии {bn} со знаменателем q определяется по формуле: $\tt b_n=b_{1} \cdot q^{n-1}.$

По условию:

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{b_1}{1-q} =12} \atop {\dfrac{b_1}{b_2+b_3} =0,9}} \right. .$

Решаем систему и находим b₁:

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{b_1}{1-q} =12} \atop {\dfrac{b_1}{b_2+b_3} =0,9}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {\dfrac{b_1}{b_1 \cdot q+b_1 \cdot q^2} =0,9}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {\dfrac{1}{q+q^2} =0,9}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {9 \cdot q^2+9 \cdot q-10=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b_1 =12 \cdot (1-q)} \atop {q_1=-\dfrac{5}{3} ,|q_1|>1, q_2=\dfrac{2}{3} ,|q_2|<1}} \right. \Rightarrow \\\\\Rightarrow b_1 =12 \cdot (1-\dfrac{2}{3})=12 \cdot \dfrac{1}{3}=4.$