Question

В геометрической прогрессии сумма первых пяти членов равна 121, сумма первых десяти равна 29524. Укажи, чему равна сумма членов этой прогрессии с одиннадцатого по семнадцатый включительно.
65740554
64570554
67540575
64540557

Answer 1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Распишем сумму первых пяти членов и сумму первых десяти членов:

$S_5=\dfrac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^5-1)=121$

$S_{10}=\dfrac{b_1(q^{10}-1)}{q-1} =\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^{10}-1)=29524$

Разделим второе равенство на первое:

$\dfrac{\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^{10}-1)}{\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^5-1)} =\dfrac{29524}{121}$

$\dfrac{q^{10}-1}{q^5-1}=244$

$q^{10}-1=244(q^5-1)$

$q^{10}-1=244q^5-244$

$q^{10}-244q^5+243=0$

Решим уравнение относительно $q^5$. Так как сумма коэффициентов равна 0, то:

$q^5=1\Rightarrow q=1$

$q^5=243\Rightarrow q=\sqrt[5]{243} =3$

Первый случай c $q=1$ не реализуется, так как в этом случае сумма первых десяти членов была бы в 2 раза больше, чем сумма первых пяти членов.

Значит, $q=3$.

Выразим из первого условия выражение для дроби:

$\dfrac{b_1}{q-1} =\dfrac{121}{q^5-1}=\dfrac{121}{3^5-1}=\dfrac{121}{242}=\dfrac{1}{2}$

Запишем выражение для искомой суммы:

$S_{11-17}=S_{17}-S_{10}=\dfrac{b_1(q^{17}-1)}{q-1} -S_{10}=\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^{17}-1)-S_{10}$

Находим сумму:

$S_{11-17}=\dfrac{1}{2} \cdot (3^{17}-1)-29524=64540557$

Ответ: 64540557