Через правий фокус еліпса 5х^2 + 9у^2 – 30х + 18у + 9 = 0 провести пряму перпендикулярну прямій 4х + 2у – 1 = 0.
Ответы
Дано уравнение эллипса 5x² + 9y² – 30x + 18y + 9 = 0.
Выделим полные квадраты.
(5x² – 5*6x + 5*9) - 5*9 + (9y² + 9*2y + 9) = 0,
5(x - 3)² + 9(y + 1)² = 45. Разделим обе части на 45.
(x - 3)²/9 + (y + 1)^2/5 = 1 или
(x - 3)²/3² + (y + 1)^2/(√5)² = 1.
Получили каноническое уравнение заданного эллипса.
Отсюда видны полуоси: a = 3, b = √5 и центр эллипса хо = 3, уо = -1.
Находим расстояние от центра до фокусов.
с = √(a² - b²) = √(9 - 5) = 2.
Координаты правого фокуса F2 = (3 + 2; -1) = (5; -1).
Дана прямая 4х + 2у – 1 = 0.
Для перпендикулярной прямой к прямой в виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А.
Уравнение имеет вид -2х + 4у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты фокуса F2.
-2*5 + 4*(-1) + C = 0. Отсюда С = 4 + 10 = 14.
Ответ: прямая -2х + 4у + 14 = 0 или разделив на (-2):
x - 2y - 7 = 0.
