Question

Вычислить неопределённый интеграл
∫(x+5)dx/x^2+2x-3

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{(x + 5)dx}{ {x}^{2} + 2x - 3 }$

В числителе делаем производную знаменателя: 2х+2

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 10)dx}{ {x}^{2} + 2x - 3} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 2 + 8) dx}{ {x}^{2} + 2x - 3} = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 2)dx}{ {x}^{2} + 2 - 3 } + \frac{8}{2} \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 2x - 3 }$

получили два интеграла.

Первый интеграл

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 2)dx}{ {x}^{2} + 2x - 3 } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 2x - 3) }{ {x}^{2} + 2x - 3 } = \\ = \frac{1}{2} ln( {x}^{2} + 2 - 3) + c$

Второй интеграл

Выделим квадрат суммы в знаменателе

${x}^{2} + 2x - 3 = {x}^{2} + 2x + 4 - 7 = \\ = {(x + 2)}^{2} - 7 = {(x + 2)}^{2} - {( \sqrt{7}) }^{2}$

$\frac{8}{2} \int\limits \frac{dx}{ {(x + 2)}^{2} - {( \sqrt{7} )}^{2} } = 4\int\limits \frac{d(x + 2)}{ {(x + 2)}^{2} - {( \sqrt{7}) }^{2} } = \\ = 4 \times \frac{1}{2 \sqrt{7} } ln( \frac{x + 2 - \sqrt{7} }{x + 2 + \sqrt{7} } ) + c = \frac{2}{ \sqrt{7} } ln( \frac{x + 2 - \sqrt{7} }{x + 2 + \sqrt{7} } ) + c$

Собираем, получаем:

$\frac{1}{2} ln( {x}^{2} + 2x - 3) + \frac{2}{ \sqrt{7} } ln( \frac{x + 2 - \sqrt{7} }{x + 2 + \sqrt{7} } ) + c$