Question

На доске нарисован правильный n-угольник. Из всех его вершин (кроме вершины A) Петя провёл все диагонали. Из вершины A он провёл лишь несколько диагоналей (но не все). Количество проведённых им диагоналей равно 50. Сколько вершин имеет этот правильный многоугольник?​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Количество диагоналей n - угольника вычисляется по формуле:

$\displaystyle N=\frac{n(n-3)}{2}$

Подставим количество проведённых Петей диагоналей в формулу:

$\displaystyle 50 = \frac{n(n-3)}{2}\\\\100 = n^2-3n\\\\n^2-3n-100=0$

Найдем дискриминант:

$\displaystyle D=9+4*1*100=409$

Ближайшие числа, из которых извлекается квадрат 400 и 441.

Так как Петя провел не все диагонали, то выбираем большее, то есть 441.

Тогда получим:

$\displaystyle n_{1,2}=\frac{3^+_-\sqrt{441} }{2}=\frac{3^+_-21}{2} \\\\n_1=12;\;\;\;\;\;n_2=-9$

⇒ n=12

Проверим:

$\displaystyle N=\frac{12(12-3)}{2} =54$

Значит Петя не нарисовал 4 диагонали в 12-угольнике.