Question

11 класс,математика,помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y_2 = \frac{x^3}{3} ; y_1=x^2\\S=\int\limits^a_b {(y_1-y_2)} \, dx$

найдем пределы интегрирования. для этого приравняем у₁ = у₂

$\frac{x^3}{3} =x^{2}$   ⇒  x₁ = 0;  x₂ = 3

$S = \int\limits^1_3 {(x^2-\frac{x^3}{3} }) \, dx = \int\limits^1_3 {(x^2) \, dx -\frac{1}{3}\int\limits^1_3 {({x^3}}) \, dx = \frac{x^3}{3} I_0^3-\frac{x^4}{12} I_0^3=\\\\9-\frac{27}{4} =\frac{9}{4}$

2)

интегралы вычисляем по частям

$\int {u} \, dv = uv- \int {v} \, du$

$\int\limits^{\pi /2}_0 {xcosx } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x\\dv=cosx dx\\\end{array}\right]=x*sinxI_0^{\pi /2}-\int\limits^{\pi /2}_0 {sinx } \, dx =\frac{\pi }{2} -1$

$\int\limits^2_1 {3xlnx} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=lnx\\v=\frac{3x^2}{2} \\du = \frac{1}{x} dx\end{array}\right] = \frac{3}{2} x^{2} I_1^2 - \frac{3}{2} \int\limits^2_1 {x} \, dx = ln(64)- \frac{9}{4}$

в следующем интеграле замена переменных и пересчет пределов интегрирования

$\int\limits^{\sqrt{3} }_0 {x\sqrt{1+x^2} } \, dx = \left[\begin{array}{ccc}1+u^2\\du=2xdx\\\end{array}\right] =$

пересчитаем пределы интегрирования нижний u = 1 + 0² =1

верхний u = 1 + (√3)² = 4

$= \frac{1}{2} \int\limits^4_1 {\sqrt{u} } \, du = \frac{u^{3/2} }{3} I_1^4= \frac{4^{3/2} }{3} - \frac{1^{3/2} }{3} =\frac{7}{3}$