Question

 Через вершину А прямоугольника ABCD проведена наклонная AM к плоскости прямоугольника, составляющих угол 50° со сторонами AD и АВ. Найдите угол между этой наклонной и плоскостью прямоугольника.

Answer 1

Пусть МО⊥(АВС).
Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ.
ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника,
∠МАН = ∠МАК = α  = 50° - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника.
ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.

Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.

Пусть а -  сторона квадрата АКОН.
Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата.
ΔАМН: АМ = AН /  cosα = a / cos α
ΔAMO: cos φ = АO / AM =  a√2 / (a / cos α) = √2cos α
cosφ = √2cos50°
φ = arccos(√2cos50°)