Question

Сумма членов с нечетными номерами бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 2 больше, чем сумма членов с четными номерами. А сумма квадратов членов с нечетными номерами на 36/5 больше, чем сумма квадратов членов с четными номерами. Найди ппервый член прогрессии.
Варианты ответа:
3
5
2
4

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Нужно знать:

Если в бесконечно убывающей геометрической прогрессии b₁ первый член и q знаменатель, то общий член представляется в виде

$\tt b_n=b_1 \cdot q^{n-1},$

а сумма членов этой геометрической прогрессии определяется по формуле:

$\tt S=b_1+b_2+...=b_1+b_1 \cdot q+b_1 \cdot q^2+...=\dfrac{b_1}{1-q}, \; |q|<1.$

Решение. Пусть x₁ первый член и q знаменатель искомой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Сумму членов с нечетными номерами бесконечно убывающей геометрической прогрессии обозначим как S₁, то есть

$\tt S_1=x_1+x_3+x_5+...=x_1+x_1 \cdot q^2+x_1 \cdot q^4+....$,

а сумму членов с четными номерами бесконечно убывающей геометрической прогрессии обозначим как S₂, то есть

$\tt S_2=x_2+x_4+x_6+...=x_1 \cdot q+x_1 \cdot q^3+x_1 \cdot q^5+....$.

По первой части условия

$\tt S_1=2+S_2.$

Применим формулу суммы когда знаменатель q² и преобразуем последнее равенство:

$\tt x_1+x_1 \cdot q^2+x_1 \cdot q^4+....=2+x_1 \cdot q+x_1 \cdot q^3+x_1 \cdot q^5+...\\\\\dfrac{x_1}{1-q^2}=2+q \cdot (x_1+x_1 \cdot q^2+x_1 \cdot q^4+....)\\\\\dfrac{x_1}{1-q^2}=2+q \cdot \dfrac{x_1}{1-q^2}\\\\\dfrac{x_1}{1-q^2}-q \cdot \dfrac{x_1}{1-q^2}=2\\\\\dfrac{x_1}{(1-q) \cdot (1+q)} \cdot (1-q)=2\\\\\dfrac{x_1}{1+q} =2\\\\x_1=2 \cdot (1+q)\\\\q=\dfrac{x_1}{2}-1 .$

По второй части условия

$\tt x_1^2+x_3^2+x_5^2+...=\dfrac{36}{5} +x_2^2+x_4^2+x_6^2+....$

Преобразуем последнее равенство:

$\tt x_1^2+(x_1 \cdot q^2)^2+(x_1 \cdot q^4)^2+...=\dfrac{36}{5} +(x_1 \cdot q)^2+(x_1 \cdot q^3)^2+(x_1 \cdot q^5)^2+...\\\\x_1^2+x_1^2 \cdot q^4+x_1^2 \cdot q^8+...=\dfrac{36}{5} +x_1^2 \cdot q^2+x_1^2 \cdot q^6+x_1^2 \cdot q^{10}+...$

$\tt x_1 \cdot (x_1+x_1 \cdot q^4+x_1 \cdot q^8+...)=\dfrac{36}{5} +x_1 \cdot q^2 \cdot (x_1 +x_1 \cdot q^4+x_1 \cdot q^8+...)$

Применим формулу суммы когда знаменатель q⁴ и преобразуем последнее равенство:

$\tt x_1 \cdot \dfrac{x_1}{1-q^4} =\dfrac{36}{5} +x_1 \cdot q^2 \cdot \dfrac{x_1}{1-q^4} \\\\x_1 \cdot \dfrac{x_1^}{1-q^4} -x_1 \cdot q^2 \cdot \dfrac{x_1}{1-q^4} =\dfrac{36}{5}\\\\\dfrac{x_1^2}{(1-q^2) \cdot (1+q^2)} \cdot (1-q^2)=\dfrac{36}{5}\\\\\dfrac{x_1^2}{1+q^2} =\dfrac{36}{5}\\\\x_1^2=\dfrac{36}{5} \cdot (1+q^2).$

В последнее уравнение подставим выражение для q:

$\tt x_1^2=\dfrac{36}{5} \cdot (1+(\dfrac{x_1}{2} -1)^2).$

Упростим последнее уравнение:

$\tt 5 \cdot x_1^2=36 \cdot (1+\dfrac{x_1^2}{4} -x+1)\\\\5 \cdot x_1^2=9 \cdot x_1^2-36 \cdot x_1+72\\\\4 \cdot x_1^2-36 \cdot x_1+72=0\\\\x_1^2-9 \cdot x_1+18=0.$

Из последнего уравнения находим:

x₁ = 3 или x₁ = 6.

Так как геометрическая прогрессия бесконечно убывающая, то из условия |q| < 1 и выражения

q = x₁/2 - 1

определяем:

если x₁ = 3: q = 3/2 - 1 = 0,5, значит |0,5| < 1 - подходит,

если x₁ = 6: q = 6/2 - 1 = 2, значит |2| > 1 - не подходит.

Ответ: 3.