Question

Дана функция двух переменных
Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных указанному дифференциальному уравнению первого порядка.

Answer 1

Ответ:

Удовлетворяет.

Пошаговое объяснение:

$z=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}-4y^{3}} \Rightarrow z=\frac{x^{3}-4y^{3}+3y^{3}}{x^{3}-4y^{3}}=1+\frac{3y^{3}}{x^{3}-4y^{3}};$

$\frac{\partial z}{\partial x}=(1+\frac{3y^{3}}{x^{3}-4y^{3}})'_{x}=(1)'_{x}+(\frac{3y^{3}}{x^{3}-4y^{3}})'_{x}=0+\frac{(3y^{3})'_{x} \cdot (x^{3}-4y^{3})-3y^{3} \cdot (x^{3}-4y^{3})'_{x}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=$

$=\frac{0 \cdot (x^{3}-4y^{3})-3y^{3} \cdot ((x^{3})'_{x}-(4y^{3})'_{x})}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=\frac{-3y^{3} \cdot (3x^{2}-0)}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=-\frac{9y^{3}x^{2}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}};$

$\frac{\partial z}{\partial y}=(1+\frac{3y^{3}}{x^{3}-4y^{3}})'_{y}=(1)'_{y}+(\frac{3y^{3}}{x^{3}-4y^{3}})'_{y}=0+\frac{(3y^{3})'_{y} \cdot (x^{3}-4y^{3})-3y^{3} \cdot (x^{3}-4y^{3})'_{y}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=$

$=\frac{9y^{2} \cdot (x^{3}-4y^{3})-3y^{3} \cdot ((x^{3})'_{y}-(4y^{3})'_{y})}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=\frac{9y^{2} \cdot (x^{3}-4y^{3})-3y^{3} \cdot (0-12y^{2})}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=\frac{9y^{2}x^{3}-36y^{5}-0+36y^{5}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=$

$=\frac{9y^{2}x^{3}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}};$

$x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=x \cdot (-\frac{9y^{3}x^{2}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}})+y \cdot \frac{9y^{2}x^{3}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=-\frac{9y^{3}x^{3}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}+\frac{9y^{3}x^{3}}{(x^{3}-4y^{3})^{2}}=0;$

При подстановке полученных частных производных в уравнение равенство выполнилось ⇒ функция двух переменных удовлетворяет указанному дифференциальному уравнению первого порядка.