Question

Помогите, умоляю! 40 баллов!
Найти асимптоты функций

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

наклонную асимптоту ищем в виде y=ax+b

из определения асимптоты

$\lim_{x\to \infty} (kx+b-y(x) )$

найдем k и b

$k= \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} \\b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-kx)$

потом найдем точки разрыва и посмотрим их пределы слева и справа

и определим вертикальные асимптоты

итак, с теорией разобрались, поехали с примерами

1)

$y= \frac{x^2+1}{x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} ( \frac{x^2+1}{x-1}) / x= \frac{x^2+1}{x^2-x}=1\\b= \frac{x^2+1}{x-1}-x= 1$

наклонная асимптота у = х + 1

теперь вертикальные

х=1 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{1 \to {1-0}} \frac{x^2+1}{x-1}=-\infty\\\lim_{1 \to {1+0}} \frac{x^2+1}{x-1}=+\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

2)

$y=\frac{2x^2-x+3}{x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2-x+3}{x-1} )/x=2\\b= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3}{x-1} -2x=1$

наклонная асимптота у = 2х + 1

теперь вертикальные

х=1 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{x \to {1-0}} \frac{2x^2-x+1}{x-1} =-\infty\\ \lim_{x \to {1+0}} \frac{2x^2-x+1}{x-1} =+\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

3)

$y=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} )/x= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^3-x^2-x} =1\\b= \lim_{x \to \infty} \frac {2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} -x =-2$

наклонная асимптота у = х - 2

теперь вертикальные

х₁ = - 0.5 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{x \to {-0.5-0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} =-\infty\\ \lim_{x \to {-0.5+0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} = +\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = -0.5

x₂ = 1

$\lim_{x \to {1-0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} = -\infty\\ \lim_{x \to {1+0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} =+ \infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

4)

$y=\frac{x^2+2x+1}{x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+2x+1}{x-1}):x= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+1}{x^2-x}=1\\b= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+1}{x-1}-x= \lim_{x\to \infty}\frac{3x+1}{x-1}=3$

наклонная асимптота у = х + 3

х=1 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{x \to {1-0}}\frac{x^2+2x+1}{x-1} =-\infty\\ \lim_{x \to {1+0}}\frac{x^2+2x+1}{x-1} =+\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1