Question

Решить задания 1 и 2

Answer 1

1 задание

а)

$\frac{dy}{ \sqrt{x} } = \frac{3dx}{ \sqrt{y} } \\ \int\limits \sqrt{y} dy = 3\int\limits \sqrt{x} dx \\ \frac{ {y}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = 3 \times \frac{ {x}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + C$

умножим на 3/2. С можно не умножать, так как это константа.

$y \sqrt{y} = 3 x\sqrt{x} + C$

общее решение.

б)

${y}^{2} dx + (x - 2)dy = 0 \\ (x - 2)dy = - {y}^{2} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = - \int\limits \frac{dx}{x - 2} \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = - \int\limits \frac{d(x - 2)}{x - 2} \\ - \frac{1}{y} = - ln(x - 2) + C \\ \frac{1}{y} = ln(x - 2) - C$

общее решение

2 задание

$\frac{dy}{ {x}^{2} } = \frac{dx}{ {y}^{2} } \\ \int\limits {y}^{2} dy =\int\limits {x}^{2} dx \\ \frac{ {y}^{3} }{3} = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ {y}^{3} = {x}^{3} + C$

общее решение

$y(0) = 2$

$8 = 0 + C \\ C = {8}$

${y}^{3} = {x}^{3} + 8 \\ y = \sqrt[3]{ {x}^{3} + 8 }$

частное решение