Question

1.Дано: cos a= -0,6,П/2<а<П.Вычислите sin a, sin2a, tg(П/4+a)
2.При всех допустимых значениях a докажите тождество (на фото)

Answer 1

1. $\cos\alpha = -0,6 = -\dfrac{3}{5}\ ;\ \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ .

а) Так как  $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ , то $\sin\alpha > 0$ .

По основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ , тогда $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left ( -\dfrac{3}{5} \right )^2} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$ .

Ответ: $\dfrac{4}{5}$ .

б) $\sin2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \left ( -\dfrac{3}{5} \right ) = -\dfrac{2\cdot 4\cdot 3}{25} = -\dfrac{24}{25}$ .

Ответ: $-\dfrac{24}{25}$ .

в) По формуле тангенса суммы: $tg(x+y) = \dfrac{tg\ x + tg\ y}{1 - tg\ x\cdot tg\ y}$ . $tg \dfrac{\pi}{4} = 1$ , а $tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{5}} = -\dfrac{4}{3}$ . Подставляем:

$tg\left ( \dfrac{\pi}{4} + \alpha\right ) = \dfrac{tg \dfrac{\pi}{4} + tg\alpha}{1 - tg \dfrac{\pi}{4} \cdot tg\alpha} = \dfrac{1 + \left ( -\dfrac{4}{3} \right )}{1 - 1\cdot \left ( -\dfrac{4}{3} \right )} = \dfrac{1-\dfrac{4}{3}}{1-\left ( -\dfrac{4}{3} \right )} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{4}{3}} =\\= -\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{7}{3}} = -\dfrac{1}{7}$

Ответ: $-\dfrac{1}{7}$ .

2)

$\dfrac{\cos\alpha - \cos5\alpha}{\sin5\alpha + \sin\alpha} = tg2\alpha$ .

Здесь мы применим формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right )\sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right )$ , а также формулу суммы

синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right )\cos\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right )$. Получаем:

$\dfrac{-2\sin\left (\dfrac{\alpha+5\alpha}{2} \right )\sin\left (\dfrac{\alpha-5\alpha}{2} \right )}{2\sin\left (\dfrac{5\alpha+\alpha}{2} \right )\cos\left (\dfrac{5\alpha-\alpha}{2} \right )} = tg2\alpha\\\\\\\dfrac{-2\sin\left (\dfrac{6\alpha}{2}\right )\sin\left (\dfrac{-4\alpha}{2}\right )}{2\sin\left (\dfrac{6\alpha}{2}\right )\cos\left (\dfrac{4\alpha}{2}\right )} = tg2\alpha\\\\\\\dfrac{-2\sin3\alpha\sin(-2\alpha)}{2\sin3\alpha\cos2\alpha} = tg2\alpha$

Так как $\sin(-2\alpha) = -\sin2\alpha$, то в числителе исчезает минус рядом с двойкой, получается:

$\dfrac{2\sin3\alpha\sin2\alpha}{2\sin3\alpha\cos2\alpha} = tg2\alpha$

Сокращаем числитель и знаменатель на $2\sin3\alpha$ :

$\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = tg2\alpha\\\\\boxed{tg2\alpha = tg2\alpha}$ , что и требовалось доказать.