Question

дана сумма S и сумма квадратов S2 бесконечно убывающей геометрической прогрессии s=2 s2=4\3

Answer 1

Ответ:

q = 1/2, b₁ = 1

Объяснение:

Полное условие (см. рисунок):

Дана сумма S и сумма квадратов S⁽²⁾ бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S=2, S⁽²⁾=4/3.

Определите знаменатель и первый член прогрессии.

Решение.

Пусть q - знаменатель и b₁ - первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии. По условию

S = b₁+b₁·q+b₁·q²+... = b₁/(1-q) = 2 и b₁ = 2·(1-q)

S⁽²⁾ = b₁²+b₁²·q²+b₁²·q⁴+... = b₁²/(1-q²) = 4/3 и b₁² = 4·(1-q²)/3.

Выражение b₁ подставим во второе выражение и получим уравнение

(2·(1-q))² = 4·(1-q²)/3

4·(1-q)² = 4·(1-q)·(1+q)/3

Так как в бесконечно убывающей геометрической прогрессии |q|<1, то уравнение можно делить на (1-q):

(1-q) = (1+q)/3

3-3·q = 1+q

3·q+q = 3-1

4·q = 2

q = 1/2.

С первого уравнения находим

b₁ = 2·(1-(1/2)) = 2·1/2 = 1.