Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 20, а b1 = 15. Найди сумму квадратов членов данной прогрессии.

Answer 1

Ответ:

240

Объяснение:

Пусть b₁, b₂...bₙ - члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии, b₁ = 15 и S = 20.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \dfrac {b_1}{1-q}$

Найдём из этой формулы q

$1 - q = \dfrac {b_1}{S} \\[1em]q = 1 - \dfrac{b_1}{S} \\[1em]q = 1 - \dfrac {15}{20} = \dfrac {5}{20} = \dfrac 1 4$

Требуется найти сумму следующей последовательности:

b₁² + b₂² + ... + bₙ²

Член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$b_n = b_1 * q^{n-1}$

Преобразуем сумму, которую требуется найти:

$b_1^2+b_2^2 +...+b_n^2 = b_1^2 + (b_1\cdot q)^2 + ... +(b_1*\cdot q^{n-1})^2 = \\[1em] = b_1^2 + b_1^2\cdot q^2 + ...+b_1^2\cdot q^{2(n-1)} = b_1^2(1 + q^2+...+q^{2(n-1)})$

Пусть t = q² = 1 / 16. Тогда:

$b_1^2(1 + q^2+...+q^{2(n-1)}) = b_1^2(1+t+...+t^{n-1})$

Рассмотрим последовательность:

1 + t + ... tⁿ⁻¹

Эта последовательность является геометрической прогрессией с b₁ = 1 и q = t = 1 / 16

Так как q < 1, то геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Найдём её сумму:

$S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{1}{1-\frac 1 {16}} = 1 \div \dfrac{15}{16} = \dfrac{16}{15}$

$b_1^2(1+t+...+t^{n-1}) = 15^2 \cdot \dfrac {16}{15} = 15 \cdot 16 = 240$