Question

Помогите пожалуйста...
Сколько шестизначных нечетных чисел можно составить из цифр 1 1 2 3 4 4, при условии, что числа должны быть больше числа 300000?​

Answer 1

Шестизначное число из данных цифр будет больше 300000, если старшая цифра будет 3 или 4.

Число будет нечётным, если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то есть 1 или 3.

Возможные варианты:

1) Числа вида  $3****1$, где вместо звёздочек могут быть цифры 1,2,4,4.

Вместо первой звёздочки может быть любая из четырёх цифр, вместо второй звёздочки - любая из трёх оставшихся, вместо третьей - любая из двух оставшихся, четвертая оставшаяся цифра - вместо четвёртой звёздочки. Так как две четвёрки и неважно, на каком месте какая из них стоит, то вариантов будет в 2 раза меньше. Итого:

$\dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}2=4\cdot 3=12$  чисел.

2) Числа вида  $4****1$, где вместо звёздочек могут быть цифры 1,2,3,4.

Вместо первой звёздочки может быть любая из четырёх цифр, вместо второй звёздочки - любая из трёх оставшихся, вместо третьей - любая из двух оставшихся, четвертая оставшаяся цифра - вместо четвёртой звёздочки. Итого:

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$  числа.

3) Числа вида  $4****3$, где вместо звёздочек могут быть цифры 1,1,2,4.

Вместо первой звёздочки может быть любая из четырёх цифр, вместо второй звёздочки - любая из трёх оставшихся, вместо третьей - любая из двух оставшихся, четвертая оставшаяся цифра - вместо четвёртой звёздочки. Так как две единицы и неважно, на каком месте какая из них стоит, то вариантов будет в 2 раза меньше. Итого:

$\dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}2=4\cdot 3=12$  чисел.

Всего  12+24+12=48  чисел.

===================================

Если воспользоваться формулой перестановок $P_n=n!$, то решение такое:

$\dfrac{P_4}{P_2}+P_4+\dfrac{P_4}{P_2}=P_4\cdot\left(\dfrac1{P_2}+1+\dfrac1{P_2}\right)=\\\\\\=P_4\cdot\left(\dfrac2{P_2}+1\right)=4!\cdot \left(\dfrac2{2!}+1\right)=\\\\\\=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot(1+1)=24\cdot 2=48$

Ответ: 48