Question

\frac{x - 5 \sqrt{x} - 14 }{x - 2 \sqrt{x } - 8 }x−2x​−8x−5x​−14​
Сократи дробь​

Answer 1

Ответ:

$\frac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}-4}$

Объяснение:

$\frac{x-5\sqrt{x}-14}{x-2\sqrt{x}-8};$

Введём замену:

$\sqrt{x}=t \Rightarrow x-5\sqrt{x}-14=t^{2}-5t-14, \quad x-2\sqrt{x}-8=t^{2}-2t-8;$

Разложим полученные квадратные трёхчлены. Для этого воспользуемся следующей формулой:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2});$

Решим первое уравнение по теореме Виета:

$t^{2}-5t-14=0;$

$\left \{ {{t_{1}+t_{2}=-(-5)} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-14}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}+t_{2}=5} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-14}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=-2} \atop {t_{2}=7}} \right. ;$

$t^{2}-5t-14=(t-(-2))(t-7)=(t+2)(t-7);$

Решим второе уравнение по теореме Виета:

$t^{2}-2t-8=0;$

$\left \{ {{t_{1}+t_{2}=-(-2)} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-8}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}+t_{2}=2} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-8}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=-2} \atop {t_{2}=4}} \right. ;$

$t^{2}-2t-8=(t+2)(t-4);$

Подставим полученные разложения вместо исходных многочленов:

$\frac{(t+2)(t-7)}{(t+2)(t-4)}=\frac{t-7}{t-4};$

Вернёмся к замене:

$\frac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}-4};$