Question

В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Плошадь квадрата равна Q. Найти сторону и площадь треугольника.

Answer 1

Сторона квадрата: $a=sqrt Q$

 

Радиус описанной окружности: $R=frac{a}{sqrt2}=frac{sqrt Q}{sqrt2}=sqrt{frac{Q}{2}}$

 

Cторона треугольника: $x=sqrt3cdot R=sqrt3cdot {sqrt{frac{Q}{2}}}=sqrt{frac{3Q}{2}}$

 

Площадь треугольника: $S=frac{1}{2}a^2Sin60^0=frac{1}{2}(sqrt{<var>frac{3Q}{2}</var>})^2cdot frac{sqrt3}{2}=frac{3Qsqrt3}{8}$

 

 

Answer 2

Сторона квадрата равна: корQ

Диагональ квадрата равна: корQ*кор2 = кор(2Q) и равна диаметру описанной окружности.

Значит радиус описанной окружности: R = кор(2Q) /2 = кор(Q/2)    (1)

Для прав. тр-ка центр описанной окр-ти лежит в точке пересеч. высот(медиан, биссектрис). Так как медианы в т. пересеч. делятся в отношении 2:1 считая от вершины, то радиус описанной окружности для прав. тр-ка равен 2/3 от медианы(высоты, биссектрисы). А так как высота прав. тр-ка равна (акор3)/2, то :

R = (2/3)*(акор3)/2 = (акор3)/3    (2)

Приравняв (1) и (2), получим:

$a= frac{sqrt{6Q}}{2}.$

Площадь тр-ка:

S = (a^2кор3)/4 =  $frac{3sqrt{3}Q}{8}.$