Question

Правильный треугольники ABC и AA1B1C1 лежат в параллельных плоскостях a, b соответственно. Прямые AA1, BB1 и CC1 перпендикулярны плоскости a . AA1 = 3, AC = 2. Нарисуйте схему по условиям расчета и найдите угол между плоскостями ABC и A1BC.

Answer 1

Ответ:

$\angle (ABC, A_{1}BC) = 60^{\circ}$

Объяснение:

Дано: $AA_{1}, CC_{1}, BB_{1} \perp \alpha ; AA_{1} = 3, AC = 2; ABC \parallel A_{1}B_{1}C_{1}$,

ΔABC - правильный

Найти: $\angle (ABC, A_{1}BC) - ?$

Решение: Так как по условию $AA_{1}, CC_{1}, BB_{1} \perp \alpha ; ABC \parallel A_{1}B_{1}C_{1}$, то по определению правильной призмы следует, что $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ - правильная треугольная призма.

Проведем отрезки $A_{1}C$ и $A_{1}B$, тогда треугольник $зA_{1}BC$ - многоугольник сечения проходящего через точки $A_{1},B,C$.

Рассмотрим треугольник ΔABC. Проведем высоту к стороне BC в точку F, то есть AF ⊥ BC. По теореме о трех перпендикулярах так как $AA_{1} \perp AF$, так как по условию $AA_{1} \perp \alpha$ и AF ⊂ ABC ,и AF ⊥ BC по построению, то $A_{1}F \perp BC$. Так как  $A_{1}F \perp BC$ и AF ⊥ BC, то угол $\angle A_{1}FA$ является линейным углом двухгранного угла между плоскостями ABC и $A_{1}BC$, то есть $\angle (ABC, A_{1}BC) = \angle A_{1}FA$.

Так как по условию треугольник ΔABC - правильный, то все его углы равны 60° и все стороны равны между собой, то есть угол ∠BAC = 60° и AC = BC = AB. По формуле площади:

$S_{зABC} = 0,5 \cdot AC \cdot AB \cdot \sin \angle CAB$ или $S_{зABC} = 0,5 \cdot AF \cdot BC$ (так как AF - высота треугольник ΔABC по построению), следовательно:

$0,5 \cdot AC \cdot AB \cdot \sin \angle CAB = 0,5 \cdot AF \cdot BC|:0,5BC$

$AF = AC \cdot \sin \angle CAB = AC \cdot \sin 60^{\circ} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} = \sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник прямоугольный $зA_{1}FA$, так как $AA_{1} \perp FA$.

$ctg \ \angle A_{1}FA = \dfrac{AF}{AA_{1}} = \dfrac{\sqrt{3} }{3} \Longrightarrow \angle A_{1}FA = arcctg(ctg \ \angle A_{1}FA) = arcctg \left( \dfrac{\sqrt{3} }{3} \right) =$

$= 60^{\circ}$.