Question

1. приведена схема с рекуррентной формулой a1 =7, an+1 = 6an:
а) запишите 2-й и 3-й члены последовательности;
б) запишите формулу n-го члена последовательности через n;
с) Дархан сказал, что число 9072 будет членом этой цепочки. Верно ли утверждение Дархана? Обоснуйте свой ответ.
2. даны первые два члена арифметической прогрессии: 50, 42, 34,...
а) запишите формулу n-го члена прогрессии.
б) определить число положительных членов прогрессии.
в) определить число последовательных членов этой прогрессии, сумма которых равна 170.
3. Если в геометрической прогрессии: b2-b1 = 22, b3-b1 = 66, то:
а) определите первый член и кратность геометрической прогрессии.
б) найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.
​​

Answer 1

$1)\ \ a_1=7\ \ ,\ \ a_{n+1}=6a_{n}\\\\a)\ \ a_2=6a_1=6\cdot 7=\underline{42}\ \ ,\ \ a_3=6a_2=6\cdot 42=\underline{252}\ \ ,\ ...\\\\b)\ \ \underline {a_{n}=a_16^{n-1}=7\cdot 6^{n-1}\ }\\\\c)\ \ 9072=7\cdot 6^{n-1}\ \ ,\ \ \ 6^{n-1}=1296\ \ ,\ \ 6^{n-1}=6^{4}\ \ ,\ \ n-1=4\ \ ,\ \ \underline{n=5}$

Число 9072 является 5-ым членом заданной прогрессии .

$2)\ \ 50\ ;\ 42\ ;\ 34\ ;\ ...\\\\d=a_2-a_1=42-50=-8\\\\a)\ \ a_{n}=a_1+d(n-1)\ \ \to \ \ a_{n}=50-8(n-1)\ \ ,\ \ a_{n}=-8n+58\\\\b)\ \ a_{n}>0\ \ \to \ \ \ -8n+58>0\ \ ,\ \ -8n>-58\ \ ,\ \ n<\dfrac{58}{8}\ \ ,\ \ \underline {n<7,25}$

Число положительных членов арифм. прогрессии равно 7 .

$c)\ \ 50+42+34+26+18=170\ \ \to \ \ \ \underline {S_5=170}$

Сумма пяти членов арифм. прогрессии равна 170 .

$3)\ \ \left\{\begin{array}{l}b_2-b_1=22\\b_3-b_1=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}{b_1q-b_1=22\\b_1q^2-b_1=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\b_1(q^2-1)=66\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\b_1(q-1)(q+1)=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\22(q+1)=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\q+1=3\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}b_1\cdot (2-1)=22\\q=2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1=22\\q=2\end{array}\right\\\\\\S_5=\dfrac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}=\dfrac{22\cdot (2^5-1)}{2-1}=22\cdot 31=\underline {682}$