Question

Ребят очень срочно пожалуйста
Вычислить границу функции.

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{x \to 0}\, \Big(5-\dfrac{4}{cosx}\Big)^{\dfrac{1}{sin^23x}}=\lim\limits_{x \to 0}\Big(1+(4-\dfrac{4}{cosx})\Big)^{\dfrac{1}{sin^23x}}\ =$

$=\lim\limits_{x \to 0}\Big(1+\dfrac{4(cosx-1)}{cosx}\Big)^{\frac{cosx}{4(cosx-1)}}\Big)^{\frac{4(cosx-1)}{cosx}\cdot \frac{1}{sin^23x}}=\\\\\\=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{-4\cdot 2sin^2\frac{x}{2}}{cosx\cdot sin^23x}}=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{-8\cdot (x^2/4)}{cosx\cdot (3x)^2}}=e^{-\frac{2}{9}}$

$P.S.\ \ \ cosx-1=-(1-cosx)=-2sin^2\dfrac{x}{2}\\\\sina3x\sim 3x\ ,\ esli\ \ 3x\to 0\\\\sin\dfrac{x}{2}\sim \dfrac{x}{2}\ ,\ esli\ \dfrac{x}{2}\to 0\\\\cos0=1$