Question

натуральное число n таково сто сумма всех его делителей D а сумма всех чисел обратных делителям равна d. Найдите это число

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{D}{d}$

Объяснение:

Пусть число n имеет k делителей. Расположим их в порядке возрастания и обозначим $d_i, i=\overline{1,k}$, причем $1=d_1<d_2<...<d_k=n$

Если число $b$ - делитель числа $n$, то число $\dfrac{n}{b}$ - также делитель числа n.

Если $x<y, x>0, y>0$ , то $\dfrac{z}{x}>\dfrac{z}{y}\;\forall z>0$

А значит $d_i=\dfrac{n}{d_{k-i+1}}\;\forall i\in\{1,...,k\}$

По условию $D=d_1+d_2+...+d_k,\;d=\dfrac{1}{d_1}+...+\dfrac{1}{d_k}$

Тогда $nd=\dfrac{n}{d_1}+...+\dfrac{n}{d_k}\Rightarrow nd=d_k+...+d_1\Rightarrow nd=D\Rightarrow n=\dfrac{D}{d}$