Question

Помогите
Методом неопределенности коэффициентов найти Общее решение линейного неоднородного Уравнение иного порядка со сталью коефициентами.


Методом невизначених коефіцієнтів знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

$y''+2y'=sinx+cosx$

Answer 1

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' + 2y' = 0$

Замена:

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 2k) = 0 \\ k(k + 2) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = -2 \\ y = C1 {e}^{ - 2x} + C2$

2) Подбираем Y

$Y = A \sin(x) + B \cos(x) \\ Y' = A \cos(x) - B \sin(x) \\ Y'' = - A\sin(x) - B \cos(x)$

Подставляем в НЛДУ:

$- A \sin(x) - B \cos(x) + 2A \cos(x) - 2B \sin(x) = \sin(x) + \cos(x)$

В систему:

$- A - 2B = 1 \\ - B+ 2A = 1$

$- A - 2B = 1 \\ B = 2A - 1$

$- A - 4A + 2 = 1 \\ - 5A = - 1 \\ A = \frac{1}{5}$

$B = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5}$

получаем

$Y = \frac{1}{5} \sin(x) - \frac{3}{5} \cos(x)$

общее решение y=y+Y

Ответ:

$y = C1 {e}^{ - 2x} + C2 + \frac{1}{5} \sin(x) - \frac{3}{5} \cos(x)$