Question

РЕБЯТА!!!! ПОМОГИТЕ!!! ПОЖАЛУЙСТА!!! СРОЧНО!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

градиент это вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

$grad(z) = \frac{dz}{dx} i+\frac{du}{dy} j$

1) z=y²lnx

$\frac{dz}{dx}= \frac{y^2}{x} ; \frac{dz}{dy}=2ylnx;\\\\grad(z) = \frac{y^2}{x}i+(2ylnx)j$

теперь посчитаем градиент в точке А

$grad(z)_A=(\frac{1^2}{e)} i+(2ln(e))j = e^{-1}i+2j$

направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

$cos\alpha =\frac{\frac{dz}{dx} }{Igrad(z)I} ; cos\beta \alpha =\frac{\frac{dz}{dy} }{Igrad(z)I}$

вычислим сначала модуль градиента а потом направляющие косинусы вектора градиента

$grad(z)_A=\sqrt{(\frac{dz}{dx})^2 +(\frac{dz}{dy})^2} =\sqrt{e^{-2}+4}$

$cos\alpha =\frac{e^{-1}}{\sqrt{e^{-2}} +4} ;cos\beta =\frac{2}{\sqrt{e^{-2}} +4}$

теперь будем разбираться с производной

ищем производную в точке А по направлению вектора a(2;3)

$\frac{dz}{da} = \frac{dz}{dx} cos\alpha +\frac{dz}{dy} cos\beta \alpha\\IaI=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{13} \\cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{13}} ;cos\beta \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}} ;$

и для вектора имеем

$\frac{dz}{da} = e^{-1}\frac{2}{\sqrt{13} } +2\frac{x3}{\sqrt{13} }$

2) писанины много, поэтому здесь уже без теории, только расчеты

$\sqrt{x+y} ;A(3.6);I=i-j$

$\frac{dz}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{ x+y}}; \frac{dz}{dy} =\frac{1}{2\sqrt{ x+y}};$

$grad(z)_A= \frac{1}{6} i-\frac{1}{6}j\\Igrad(z)_AI= \frac{\sqrt{2} }{6}$

$cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{2} } ;cos\beta \alpha =\frac{1}{\sqrt{2} }$

теперь производная в точке А по направлению вектора а = (1;1)

$\frac{dz}{da} =\frac{dz}{dx} cos\alpha +\frac{dz}{dy} cos\beta \\IaI-\sqrt{2} \\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2} } ;cos\beta = \frac{1}{\sqrt{2} } ;$

$\frac{dz}{da} =\frac{1}{y6} *\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{y6} *\frac{1}{\sqrt{2} }=0$