Question

Помогите пожалуйста с алгеброй

Answer 1

Ответ:

1.

а)

$\cos( - \frac{\pi}{6} ) tg(45°) + \sin( - \frac{\pi}{3} ) ctg(45°) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \times 1 + ( - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \times 1 = 0$

б)

$\frac{ \cos(540°) - \sin(810°) }{ctg( \frac{5\pi}{3} ) - tg( - \frac{9\pi}{4}) } = \frac{ \cos(3\pi) - \sin( \frac{9\pi}{2} ) }{ - \frac{ \sqrt{3} }{3} - ( - 1) } = \frac{ - 1 - 1}{1 - \frac{ \sqrt{3} }{3} } = - 2 \times \frac{3}{3 - \sqrt{3} } = - \frac{6}{3 - \sqrt{3} }$

2.

а)

$tg( \beta ) \times ctg( \beta ) - { \sin( \alpha ) }^{2} = 1 - { \sin( \alpha ) }^{2} = { \cos( \alpha ) }^{2}$

б)

$\frac{ctg( \alpha )}{tg( \alpha )} + { \sin( \alpha ) }^{2} + { \cos( \alpha ) }^{2} = \frac{1}{ {tg( \alpha )}^{2} } + 1 = \frac{1}{ { \cos( \alpha ) }^{2} }$

3.

а)

угол во 2 четверти => косинус, тангенс, котангенс отрицательные

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - { \sin( \alpha ) }^{2} } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{144}{169} } = - \sqrt{ \frac{25}{169} } = - \frac{5}{13}$

$tg( \alpha ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{12}{13} \times ( - \frac{13}{5} ) = - \frac{12}{5}$

$ctg( \alpha ) = \frac{1}{tg( \alpha )} = - \frac{5}{12}$

б)

угол в 4 четверти => тангенс отрицательный, синус отрицательный, косинус положительный.

$ctg( \alpha ) = - \frac{8}{15} \\ tg( \alpha ) = - \frac{15}{8}$

Используем формулу:

$1 + {tg( \alpha )}^{2} = \frac{1}{ { \cos( \alpha ) }^{2} } \\ { \cos( \alpha ) }^{2} = \frac{1}{1 + {tg( \alpha )}^{2} } \\ \cos( \alpha ) = + - \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg( \alpha )}^{2} } }$

знак зависит от угла.

$\cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{225}{64} } } = \sqrt{ \frac{64}{64 + 225} } = \sqrt{ \frac{64}{289} } = \frac{8}{17}$

$\sin( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{64}{289} } = - \sqrt{ \frac{225}{289} } = - \frac{15}{17}$

4.

а)

$\frac{1 + ctg( \alpha )}{1 + tg( \alpha )} = \frac{1 + \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } }{1 + \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } } = \frac{ \frac{ \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } }{ \frac{ \cos( \alpha ) + \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } } = \frac{ \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } \times \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) } = \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } = ctg( \alpha )$

б)

$\frac{ { \cos( \alpha ) }^{4} - { \sin( \alpha ) }^{4} }{(1 - \sin( \alpha ))(1 + \sin( \alpha )) } + 2 {tg( \alpha )}^{2} = \frac{( { \cos( \alpha ) }^{2} - { \sin( \alpha ) }^{2})( { \cos( \alpha ) }^{2} + { \sin( \alpha ) }^{2}) }{1 - { \sin( \alpha ) }^{2} } + 2 {tg( \alpha )}^{2} = \frac{ \cos(2 \alpha ) \times 1 }{ { \cos( \alpha ) }^{2} } + 2 {tg( \alpha )}^{2} = \frac{ \cos(2 \alpha ) }{ { \cos( \alpha ) }^{2} } + \frac{2 { \sin( \alpha ) }^{2} }{ { \cos( \alpha ) }^{2} } = \frac{ { \cos( \alpha ) }^{2} - { \sin( \alpha ) }^{2} ) + 2 { \sin( \alpha ) }^{2} }{ { \cos( \alpha ) }^{2} } = \frac{ { \cos( \alpha ) }^{2} + { \sin( \alpha ) }^{2} }{ { \cos( \alpha ) }^{2} } = \frac{1}{ { \cos( \alpha ) }^{2} }$

5.

а)

$\sin(112°) \cos(22°) - \sin(22°) \cos(112°) = \sin(112° - 22°) = \sin(90°) = 1$

б)

$\frac{ \cos(52°) \cos(7°) + \sin(52°) \sin(7°) }{ \sin(29°) \cos(16°) + \sin(16°) \cos(29°) } = \frac{ \cos(52° - 7°) }{ \sin(29° + 16°) } = \frac{ \cos(45°) }{ \sin(45°) } = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = 1$