Question

Как понять транзитивность данного множества ?
R = {(1,1) (1,3), (3,3)}
$R_{2} =$ = {(0,1) (0,3) (1,3)}
Объясните простыми словами, почему эти множества являются транзитивными?

Answer 1

Мы берем две пары (a; b) и (b; c) и составляем новую пару (a; c). Если все такие пары (a; c) также принадлежат множеству, то это множество транзитивно.

Смотрим первое множество.

Берем пару (1; 1). Вторая пара должна начинаться с 1 - возможны два случая: если это пара (1; 1), то новая пара, которую мы составим, - это пара (1; 1), и она также принадлежит множеству. Если вторая пара (1; 3), то новая пара - пара (1; 3) - также принадлежит множеству.

Берем пару (1; 3). Вторая пара должна начинаться с 3 - такая пара только одна (3; 3). На основе этих двух пар составляем новую - (3; 3). Эта пара также принадлежит множеству.

Берем пару (3; 3). Вторая пара должна начинаться с 3 - такая пара только одна (3; 3). На основе этих двух пар составляем новую - (3; 3). Эта пара также принадлежит множеству.

Условие транзитивности выполняется, значит это множество транзитивно.

Смотрим второе множество.

Берем пару (0; 1). Вторая пара должна начинаться с 1 - такая пара только одна (1; 3). На основе этих двух пар составляем новую - (0; 3). Эта пара также принадлежит множеству.

Если рассмотреть оставшиеся пары (0; 3) и (1; 3), то второй пары для них, то есть пары начинающейся с 3, не окажется. Такое тоже допустимо, и это никак не влияет на транзитивность.

Условие транзитивности выполняется, значит это множество транзитивно.