Question

Доказать что лимит не иснует

Answer 1

Функция $arctg\frac{1}{x}$ определена в $(0; \delta)$ и $(-\delta; 0)$ для сколь угодно малых $\delta$.

Тогда воспользуемся теоремой о связи двустороннего предела с односторонними: $\exists\lim_{x \to a} f(x) \Leftrightarrow \exists\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.

$\lim_{x \to 0^-} arctg\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}.$

$\lim_{x \to 0^+} arctg\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}.$

Односторонние пределы не равны, следовательно двустороннего не существует. Что и требовалось доказать.