Question

1. ABC — равносторонний треугольник, точки M, N и К — серединные точки сторон.
Площадь треугольника MNK равна 16 кв. ед. изм.
Определи площадь четырёхугольника ANKB:
КВ. ед. ИЗМ.
2. Площадь комнаты равна 15 м2.
Можно ли разместить в комнате ковры 4 м2, 5 м2 и 7 м2, чтобы ковры не перекрывались?
​

Answer 1

Ответ:

1. $S_{AMNB} = 48$ квадратных единиц

2. Нельзя

Объяснение:

1.

Примечание:

Рисунок отличается от рисунка в условии. Следует понимать, что $S_{ANKB} = S_{AMNB}$.

Дано: ΔABC - равносторонний, CM = MA,AK = BK, BN = CN, $S_{зMNK} = 16$

Найти: $S_{ANKB}$ - ?

Решение: Так как по условию треугольник ΔABC - равносторонний, то все его стороны равны, то есть AB = BC = AC, следовательно

CM = MA = AK = BK = BN = CN. По свойствам равностороннего треугольника (ΔABC) все его углы равны 60°, тогда ∠ACB = ∠CAB =

= ∠CBA = 60°. Треугольник ΔMAK = ΔBKN по первому признаку равенства треугольников, так как MA = KA = KB = BN и ∠CAB = ∠CBA = 60°. Так как по условию M,N - середины сторон CA,CB, то отрезок MN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть MN║AB. Так как по условию K,N - середины сторон AB,CB, то отрезок KN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть KN║AC. По теореме AMNK - параллелограмм, так как MN║AB и KN║AC, следовательно по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда MN = AK, MA = KN. Треугольник ΔMAK = ΔMKN по третьему признаку равенства треугольников, так как MK - общая, а MN = KA, AM = KN - как противоположные стороны параллелограмма  AMNK. Так как треугольник ΔMAK = ΔMKN и треугольник ΔMAK = ΔBKN, то

ΔMAK = ΔMKN = ΔBKN. Так как  треугольники равны, то их соответствующие элементы равны, то есть так как  $S_{зMNK} = 16$, то

$S_{зMNK} =S_{зMAK} =S_{зBKN} = 16$ квадратных единиц.

$S_{ANKB} = S_{зMNK} +S_{зMAK} + S_{зBKN} = 16 + 16 + 16 = 48$ квадратных единиц.

2.

Если в комнате можно разместить все ковры, то сумма площадей ковров должна быть меньше или равна площади комнаты.

15 м² ∨ 4 м² + 5 м² + 7 м²

15 м² ∨ 16 м²

15 м² < 16 м²

Так как площадь, ковров больше площади комнаты, то ковры перекроются.