Question

Доказать неравенство x^4+y^4>= x^3y+xy^3 при любых x и y

Answer 1

x^4+y^4>= x^3y+xy^3

x^4+y^4  - x^3y - xy^3 = x(x^3 - y^3) - y(x^3 - y^3)= (x - y)(x^3 - y^3) = (x - y)(x - y)(x^2 +xy +y^2) = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2) >= 0

(x - y)^2 >= 0 как квадрат

x^2 + xy + y^2 >= 0 неполный квадрат

произведение >= 0