Question

Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения первого порядка

Answer 1

Ответ:

$(1 + {y}^{2} ) \frac{dy}{dx} \times { \sin(x) }^{2} = y \\ ∫ \frac{(1 + {y}^{2})dy }{y} = ∫ \frac{dx}{ { \sin(x) }^{2} } \\ ∫( \frac{1}{y} + y)dy = - ctg(x) + C \\ ln(y) + \frac{ {y}^{2} }{2} = - ctg(x) + C$

это общее решение.

задача коши:

$y( \frac{\pi}{2} ) = 1$

$ln( 1 ) + \frac{1}{2} = - ctg( \frac{\pi}{2} ) + C \\ 0 + \frac{1}{2} = 0 + C \\ C = \frac{1}{2}$

Частное решение:

$ln(y) + \frac{ {y}^{2} }{2} = - ctg(x) + \frac{1}{2}$