Question

Дана геометрическая прогрессия с положительными членами, где третий член равен 18, пятый член равен 162. Сумма нескольких первых членов данной прогрессии равна 80. Найди их количество.
ДАМ 25 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

По условию $b_{1} > 0 \Longrightarrow q > 0$

По условию составим систему уравнений:

По свойству членов геометрической прогрессии:

$b_{4}^{2} = b^{3}\cdot b^{5} \Longrightarrow b_{4} = \sqrt{ b^{3}\cdot b^{5}} = \sqrt{18 \cdot 162} = \sqrt{2916} = 54$

$q = \dfrac{b_{4}}{b_{3}} = \dfrac{54}{18} = 3$

$b_{3} = b_{1}\cdot q^{3 - 1} \Longrightarrow b_{1} = \dfrac{b_{3}}{q^{2}} = \dfrac{18}{3^{2}} = \dfrac{18}{9} = 2$

По формуле сумму n - членов геометрической прогрессии:

$S_{n} = \dfrac{b_{1}(q^{n} -1 )}{q - 1}$

$80 = \dfrac{2(3^{n} -1 )}{3 - 1}$

$80 = \dfrac{2(3^{n} -1 )}{2}$

$80 = 3^{n} -1$

$81 = 3^{n}$

$3^{4} = 3^{n}$

$n = 4$