Question

Помогите
1.Санки массой 2 кг, скатываясь с высокой горки, вновь въезжают на горку, радиус кривизны которой 2,5 м. Чему равен вес санок в верхней точке, если скорость их в этой точке 3 м/с? При какой скорости санок в верхней точке они будут в состоянии невесомости?
2. По кривой какого радиуса проедет велосипедист , если он движется со скоростью 6 м/с? Предельный угол наклона велосипедиста к дороге 50 градусов.

Answer 1

1. Дано:

m = 2 кг

R = 2,5 м

v = 3 м/с

Найти:

P = ?

Решение:

В задаче просят рассмотреть движение по окружности. Санки в верхней точке горки имеют вес, равный силе реакции опоры в этой точке. Проанализируем эти вертикальные силы.

Санки, въезжая на горку, движутся криволинейно, а значит скорость санок меняет своё направление. Следовательно, санки движутся по горке с ускорением. Из второго закона Ньютона известно, что тело приобретает ускорение, если на него действует сила, а также то, что направление силы точно такое же, как и направление ускорения. И т.к. санки движутся по горке (по окружности), то их ускорение и сила, удерживающая санки на поверхности горки, направлены к центру кривизны горки (к центру окружности). В верхней точке эта сила - центростремительная - будет складываться из силы реакции опоры (горки) и силы тяжести, действующих на санки, т.к. она является результирующей. Следовательно, можно записать уравнение для второго закона Ньютона и рассмотреть проекции сил:

N + mg = ma = Fцс

Сила реакции горки направлена вдоль оси Y, сила тяжести и центростремительная направлены против оси Y:

$N-mg=-ma\\a=\frac{v^2}{R} \\N-mg=-m\frac{v^2}{R}$

Вес - это сила, с которой тело действует на опору вследствие притяжения к Земле. По третьему закону Ньютона модуль веса будет равен модулю силы реакции горки:

$F_1 = F_2\\N=P$

Тогда:

$N-mg=-m\frac{v^{2} }{R}\\N=mg- m\frac{v^{2} }{R}\\N=m(g-\frac{v^{2} }{R})\\N=P=m(g-\frac{v^{2} }{R})=2(10-\frac{3^{2} }{2,5})=6,4$

6,4 H.

Чтобы узнать скорость, при которой санки в верхней точке горки будут в состоянии невесомости, необходимо приравнять вес санок к нулю:

$N=P=0=>0=mg-m\frac{v^{2} }{R} \\mg=m\frac{v^{2} }{R}\\mg=\frac{m}{R}*v^2\\v^2=mg: \frac{m}{R}=gR\\v=\sqrt{gR} =\sqrt{10*2,5}=\sqrt{25} =5$

5 м/с.

Ответ: 6,4 Н и 5 м/с.

2. Дано:

v = 6 м/с

α = 50°

Найти:

R = ?

Решение:

Т.к. велосипедист двигается под наклоном к земной поверхности, то вертикальные силы действуют на систему тел "велосипед-велосипедист" в разных точках: сила тяжести - в точке центра тяжести, а сила реакции опоры - в точке давления системы тел на земную поверхность (колёса велосипеда). Движение является криволинейным, следовательно оно происходит с ускорением. В данном случае центростремительной силой выступает сила трения, т.к. по оси X на колёса велосипеда больше никаких сил не действует. Уравнение для второго закона Ньютона:

N + mg + Fтр = ma

Уравнение проекций сил на ось Y:

$N - mg = ma = 0\\N =mg$

Уравнение проекций сил на ось X:

$F_m_p =ma=m\frac{v^2}{R}$

Велосипедист не заваливается, значит моменты сил, действующих на точку приложения (на колёса велосипеда) относительно центра тяжести системы тел, уравновешивают друг друга. Этими силами являются Fтр и N.

Момент силы - это произведение силы на плечо (плечо - кратчайшее расстояние между линией приложения силы и точкой опоры, в данном случае - между линиями приложения Fтр и N и центром тяжести велосипедиста):

M = F*d

Расстояние от точки приложения сил до центра тяжести можно обозначить как d, тогда моменты сил будут:

$M_1=F_m_p*d*sin\alpha \\M_2=N*d*cos\alpha\\M_1=M_2\\F_m_p*d*sin\alpha =N*d*cos\alpha$

Подставим значения сил из уравнения проекций для второго закона Ньютона в уравнение моментов и найдём R:

$N =mg\\F_m_p =m\frac{v^2}{R}\\m\frac{v^2}{R}*d*sin\alpha =mg*d*cos\alpha \\\frac{mv^2*d*sin\alpha}{R}=mg*d*cos\alpha\\R=\frac{mv^2*d*sin\alpha}{mg*d*cos\alpha}=\frac{v^2}{g}*\frac{sin\alpha }{cos\alpha } = \frac{v^2*tg\alpha }{g}=\\=\frac{6^2*tg(50^o)}{10}=\frac{36*1,2}{10} = 4,32=4,3$

Ответ: радиус кривой будет равен примерно 4,3 м.