Question

алгебра уравнения срочно ​

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{3};$

$1; \quad 3; \quad 2+\sqrt{3}; \quad 2-\sqrt{3};$

Объяснение:

$1) \frac{4}{4x^{2}-1}-\frac{x-1}{2x^{2}+x}=\frac{2}{2x-1};$

$\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}-\frac{x-1}{x(2x+1)}=\frac{2}{2x-1};$

ОДЗ:

$x \neq 0;$

$2x-1 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2};$

$2x+1 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -1 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2};$

Решение:

$\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}-\frac{x-1}{x(2x+1)}=\frac{2}{2x-1};$

$\frac{4x}{x(2x-1)(2x+1)}-\frac{(2x-1)(x-1)}{x(2x-1)(2x+1)}=\frac{2x(2x+1)}{x(2x-1)(2x+1)};$

$4x-(2x-1)(x-1)=2x(2x+1);$

$4x-(2x^{2}-2x-x+1)=4x^{2}+2x;$

$4x^{2}+2x=4x-2x^{2}+3x-1;$

$4x^{2}+2x^{2}+2x-4x-3x+1=0;$

$6x^{2}-5x+1=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-5)^{2}-4 \cdot 6 \cdot 1=25-24=1;$

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$

$x_{1}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2 \cdot 6}=\frac{5+1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2};$

$x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2 \cdot 6}=\frac{5-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3};$

Корень х₁ не удовлетворяет ОДЗ.

$2) \frac{1}{(x-2)^{2}}-\frac{1}{x(x-4)}=\frac{4}{3};$

ОДЗ:

$x \neq 0;$

$(x-2)^{2} \neq 0 \Rightarrow x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2;$

$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4;$

Решение:

$\frac{1}{(x-2)^{2}}-\frac{1}{x(x-4)}=\frac{4}{3};$

$\frac{x(x-4)-(x-2)^{2}}{x(x-4)(x-2)^{2}}=\frac{4}{3};$

$\frac{x^{2}-4x-(x^{2}-4x+4)}{(x^{2}-4x)(x^{2}-4x+4)}=\frac{4}{3};$

$\frac{x^{2}-4x-x^{2}+4x-4}{(x^{2}-4x)(x^{2}-4x)+4(x^{2}-4x)}=\frac{4}{3};$

$\frac{-4}{(x^{2}-4x)^{2}+4(x^{2}-4x)}=\frac{4}{3};$

$4((x^{2}-4x)^{2}+4(x^{2}-4x))=-4 \cdot 3;$

$(x^{2}-4x)^{2}+4(x^{2}-4x)=-3;$

$x^{4}-8x^{3}+16x^{2}+4x^{2}-16x+3=0;$

$x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x+3=0;$

Делители цифры 3:

$\pm 1, \quad \pm 3;$

Подставим вместо "х" единицу:

$1-8+20-16+3=-7+4+3=0;$

Единица обращает уравнение в верное равенство ⇒ один из множителей равен (х – 1). Разделим исходный многочлен на (х – 1):

$\frac{x^{4}-8x^{3}}{x-1}=\frac{x^{4}-x^{3}-7x^{3}}{x-1}=\frac{x^{3}(x-1)-7x^{3}}{x-1}=x^{3}-\frac{7x^{3}}{x-1};$

$\frac{-7x^{3}+20x^{2}}{x-1}=\frac{-7x^{3}+7x^{2}+13x^{2}}{x-1}=\frac{-7x^{2}(x-1)+13x^{2}}{x-1}=-7x^{2}+\frac{13x^{2}}{x-1};$

$\frac{13x^{2}-16x}{x-1}=\frac{13x^{2}-13x-3x}{x-1}=\frac{13x(x-1)-3x}{x-1}=13x-\frac{3x}{x-1};$

$\frac{-3x+3}{x-1}=\frac{-3(x-1)}{x-1}=-3;$

$x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-16x+3=(x-1)(x^{3}-7x^{2}+13x-3);$

$x^{3}-7x^{2}+13x-3=0;$

Делители числа –3:

$\pm 1, \quad \pm 3;$

Подставим вместо "х" единицу:

$1-7+13-3=-6+10=4 \neq 0;$

Единица не обращает уравнение в верное равенство.

Подставим вместо "х" тройку:

$3^{3}-7 \cdot 3^{2}+13 \cdot 3-3=27-7 \cdot 9+39-3=27-63+36=0;$

Цифра 3 обращает уравнение в верное равенство ⇒ один из множителей равен (х – 3). Разделим исходный многочлен на (х – 3):

$\frac{x^{3}-7x^{2}}{x-3}=\frac{x^{3}-3x^{2}-4x^{2}}{x-3}=\frac{x^{2}(x-3)-4x^{2}}{x-3}=x^{2}-\frac{4x^{2}}{x-3};$

$\frac{-4x^{2}+13x}{x-3}=\frac{-4x^{2}+12x+x}{x-3}=\frac{-4x(x-3)+x}{x-3}=-4x+\frac{x}{x+3};$

$\frac{x-3}{x-3}=1;$

$x^{3}-7x^{2}+13x-3=(x-3)(x^{2}-4x+1);$

$x^{2}-4x+1=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1=16-4=12;$

$x_{3,4}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$

$x_{3}=\frac{-(-4)+\sqrt{12}}{2 \cdot 1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3};$

$x_{4}=\frac{-(-4)-\sqrt{12}}{2 \cdot 1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3};$

Мы нашли корни последнего уравнения. Два других корня мы отыскали, когда подбирали число для разложения выражения на множители.

$x_{1}=1, \quad x_{2}=3,\quad x_{3}=2+\sqrt{3}, \quad x_{4}=2-\sqrt{3};$

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.