Question

Помогите, пожалуйста

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. $y=2x^3-9x^2-24x-2$

1) D(y)=x∈R

2) Четность, нечетность:

$y(-x)=-2x^3-9x^2+24x-2$

⇒y(-x)≠y(x); y(-x)≠-y(x) -функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.

3) Пересечение с осями координат:

а) с осью 0х

у=0  ⇒  2х³-9х²-24х-2=0

х₁≈6,4; х₂≈-1,8; х₃≈-0,1 (корни найдены с помощью онлайн сервиса)

б) с осью 0у

х=0   ⇒ у=-2

4) Асимптоты:

Точек разрыва нет, функция непрерывна, левый и правый пределы равны ±∞   ⇒ асимптот нет.

5) Возрастание, убывание, точки экстремумов:

Найдем производную:

$y'=6x^2-18x-24$

Приравняем производную к нулю, найдем корни, отметим на числовой оси. Определим знаки на промежутках. Если производная отрицательна, то функция убывает, если положительна - возрастает.

Точки экстремума. Если производная меняет знак с "+" на "-" - точка max; если c "-" на "+" - точка min.

$6x^2-18x-24=0\;\;\;|:6\\x^2-3x-4=0$

По теореме Виета

х₁=4;   х₂=-1

см. рис.

⇒ функция возрастает при х∈(-∞;-1]∪[4;+∞)

функция убывает при х∈[-1;4]

$x_{max}=-1;\;\;\;x_{min}=4$

$y_{max}=y(-1)=-2-9+24-2=11\\y_{min}=y_{4}=128-144-96-2=-114$

6) Выпуклость, вогнутость:

Найдем производную второго порядка.

$y''=(6x^2-18x-24)'=12x-18$

Приравняем к нулю. Найдем корни, отметим на числовой оси. Определим знаки на промежутках. Если у'' имеет знак "+" - функция вогнутая; если "-" - выпуклая.

$12x-18=0\\x=\frac{3}{2}=1,5$-точка перегиба

см. рис.

$y_{peregiba}=2*\frac{27}{4}-9*\frac{9}{4}-24*\frac{3}{2}-2 =-56,75$

То есть, функция выпукла при х∈(-∞; 1,5]; вогнута при х∈[1,5;+∞)

Строим график.

2. $y=\frac{x+4}{x-1}$

1) Dy= x∈(-∞;1)∪(1;+∞)

2) Четность, нечетность:

$y(-x)=\frac{-x+4}{-x-1}$

⇒y(-x)≠y(x); y(-x)≠-y(x) -функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.

3) Пересечение с осями координат:

a) c осью 0х:

$y=0;\;\;\;\frac{x+4}{x-1}=0;\;\;\;x=-4$

б) с осью 0у:

$x=0;\;\;\;y(0)=\frac{0+4}{0-1}=-4$

4) Асимптоты:

a) $\lim_{x \to 1} \frac{x+4}{x-1}=\infty$

⇒ x=1 - вертикальная асимптота.

б) Наклонная: y=kx+b

$k= \lim_{x \to \infty} \frac{x+4}{x(x-1)} =0\\\\b= \lim_{x\to \infty} \frac{x+4}{x-1}-0= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}+\frac{4}{x} }{\frac{x}{x}-\frac{1}{x} } =1$

⇒ y=1 - горизонтальная асимптота.

5) Возрастание, убывание, точки экстремумов:

Найдем производную:

$y'=\frac{1(x-1)-(x+4)1}{(x-1)^2} =-\frac{5}{(x-1)^2}$

Так как как при х≠1, знаменатель положителен ⇒ y'<0,

то есть функция убывает, точек экстремума нет.

6) Выпуклость, вогнутость:

Найдем производную второго порядка.

$y''=\frac{5*2(x-1)}{(x-1)^4} =\frac{10}{(x-1)^3}$

Имеем одну критическую точку х=1

См. рис.

Функция выпукла при х∈(-∞;1); вогнута при х∈(1;+∞)

Строим график.