Question

Вычислить определенный интеграл методом подстановки

Answer 1

$\displaystyle\int\limits^{\pi/6}_{\pi/8} \dfrac{dx}{\cos^2\left(2x+\dfrac{\pi}3\right)} =\ (*)$

Метод подстановки (метод замены переменной):

$\boldsymbol{2x+\dfrac{\pi}3=t};\ \ d\left(2x+\dfrac{\pi}3\right)=dt;\ \ 2dx=dt;\ \ \boldsymbol{dx=\dfrac{dt}2}$

Нижний предел интегрирования:

$x_1=\dfrac{\pi}8;\ \ t_1=2\cdot \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}3=\dfrac{7\pi}{12};\ \ \boldsymbol{t_1=\dfrac{7\pi}{12}}$

Верхний предел интегрирования:

$x_2=\dfrac{\pi}6;\ \ t_2=2\cdot \dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}3+\dfrac{\pi}3=\dfrac{2\pi}3;\ \ \boldsymbol{t_2=\dfrac{2\pi}3}$

$\displaystyle(*)=\int\limits^{2\pi/3}_{7\pi/12} \dfrac{dt}{2\cos^2t} =\dfrac12\cdot tg\, t\bigg|^{2\pi/3}_{7\pi/12}=\\\\\\=\dfrac12\left(tg\left(\dfrac{2\pi}3\right)-tg\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\right)=\ (**)$

Вычислим отдельно тангенсы:

$tg\left(\dfrac{2\pi}3\right)=tg\left(\pi-\dfrac{\pi}3\right)=-tg\left(\dfrac{\pi}3\right)=-\sqrt3$

Для вычисления второго тангенса воспользуемся формулой:

$tg\,\alpha =\dfrac{1-\cos(2\alpha )}{\sin(2\alpha )}\\\\tg\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)}{\sin\left(\dfrac{7\pi}6\right)}=\dfrac{1-\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}6\right)}{\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}6\right)}=\\\\=\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{\pi}6\right)}{-\sin\left(\dfrac{\pi}6\right)}=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt3}2}{-\dfrac12}=-\left(2+\sqrt3\right)$

$(**)=\dfrac12\bigg(-\sqrt3-\Big(-(2+\sqrt3)\Big)\bigg)=\\\\=\dfrac12\Big(-\underline{\sqrt3}+2+\underline{\sqrt3}\Big)=\dfrac 12\cdot 2=1$

Ответ: 1.